Лидеры России
15 ДЕКАБРЯ 2018
Можно ли выйти в полуфинал случайно — математический ребус от эксперта
Задачи и условия конкурса управленцев «Лидеры России» предполагают, что победители будут определены в процессе одинаковых для всех испытаний. Организаторы исключают любые способы попасть в полуфинал нечестным путем. А защищен ли результат от игры случая? Возможно ли пройти в полуфинал, выбирая ответы наугад? Отвечает член Экспертного совета, руководитель рабочей группы по созданию теста общих знаний о России Александр Шмелев.

— Чтобы понять, какова вероятность пробиться в полуфинал «методом случайного тыка», давайте рассмотрим ее на примере самого короткого по числу заданий второго блока тестирования. В тесте общих знаний о России было 50 заданий, по 10 в каждом субтесте. Предположим для простоты, что все они предполагали выбор одного из четырех вариантов ответа, хотя были и более сложные задания. Этот тест выполняли почти 40 тысяч человек. Средний результат среди этих 40 тысяч — примерно 36 правильных ответов из 50 (72 процента). Мог ли хотя бы один из участников набрать 36 ответов случайным образом?

Каждый, кто умеет работать с электронными таблицами типа Excel, может применить для проверки этой вероятности метод моделирования с помощью случайных чисел под названием «метод Монте-Карло». Для этого нужно заполнить случайными числами от 1 до 4 таблицу из 40 тысяч строк и 50 столбцов. В Excel формула случайного числа — СЛУЧМЕЖДУ(1;4). Ее нужно распространить на всю таблицу, а затем посчитать, сколько получается в каждой строке цифр, совпадающих с ключевым ответом (для простоты можно допустить, что ключевым является ответ №1). Вот как выглядит команда-формула для произвольной строки, например, 7: =СЧЕТЕСЛИ(a7:ax7;"=1"). В данном случае каждая строка моделирует 50 случайных ответов одного участника.

Таким способом каждый может проверить математическую истину: ни один из 40 тысяч человек не может дать случайным образом даже 30 правильных ответов из 50, не говоря уже про 36. Математическое ожидание равно 12.5, то есть четверть от 50, а максимум будет в районе 27-28 случайно совпавших ответов.

Кстати, в той же таблице Excel с помощью статистической функции =БИНОМРАСП(36;50;0,25;ИСТИНА) можно подсчитать вероятность того, что какой-то человек наберет случайным образом 36 баллов из 50 или больше. Получится число с 12 нулями после запятой, то есть вероятность равна 5 случаям из 10 триллионов. Иными словами, требуется 10 триллионов участников такого Конкурса.

А ведь в этом тесте было еще 6 заданий на ранжирование 5 объектов, и каждое дает комбинаторику из 120 возможных перестановок. Невозможно случайно расставить пять объектов в правильном порядке даже в трех заданиях из шести, а чтобы набрать на этих заданиях примерно 75 процентов очков, три надо решить точно. Непростыми были и задания со множеством правильных ответов в субтесте по русскому языку.

А в предыдущем блоке были три теста на способности, минимум по 25 заданий в каждом. Так что те, кто применял подобную «стратегию», были отсечены уже после первого блока тестирования. В третьем же блоке задания были еще сложнее.

Понятно, что вряд ли в Конкурсе нашелся бы участник, который захотел бы пройти все задания случайно — легче предположить, что некоторые участники могли случайным образом выбирать только те ответы, которые не были им известны. Но даже для таких случаев математическая вероятность прохождения во Всероссийский финал Конкурса ничтожна, а контрольное тестирование, где полуфиналисты снова пройдут тесты с заданиями сопоставимой сложности, и вовсе сводит ее к нулю.